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｢Infoseek ﾓﾊﾞｲﾙ｣

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ｎ を正の整数とするとき、 　２ｎ＋１＋３２ｎ−１ は７で割切れることを証明しなさい。

　　　　　整数の問題です。　こいつも数学的帰納法でいきましょう （＾＾）♪



まずは、【手順１】　ｎ＝１ のとき、問題の不等式は、

　　　　　　　　　　２^ｎ＋１＋３^２ｎ−１＝２^２＋３^１＝７

　　　　　　　　　　これは明らかに、７で割り切れますね。

次に、　【手順２】　ｎ＝ｋ のときに正しいと仮定します。　つまり

　　　　　　　　　　２^ｋ＋１＋３^２ｋ−１ は７で割切れる

　　　　　　　　　　が言えるものとします。

すると、【手順３】　ｎ＝ｋ＋１ のときは

　　　　　　　　　　２^{ｋ＋１＋１}＋３^{２（ｋ＋１）−１}＝２・２^ｋ＋１＋９・３^２ｋ−１ 　　９ を ２＋７ に分けて （＾＾）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　＝２・２^ｋ＋１＋２・３^２ｋ−１＋７・３^２ｋ−１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　＝２（２^ｋ＋１＋３^２ｋ−１）＋７・３^２ｋ−１

　　　　　　　　　　　最後の式で、前半は手順２から、カッコの中が７で割り切れますし、
　　　　　　　　　　　後半は７が掛かってますからもちろん７で割り切れますね。（ ｋ≧１ やから、２ｋ−１≧１ やし）
　　　　　　　　　　　したがってこの式は７で割り切れます。


以上の結果から（数学的帰納法により） すべての正の整数（自然数） ｎ について、
問題の式は７で割り切れることが言えました。



　　　ｋ≧１ ですから、ここでは指数がマイナスになることは無いので、各項はすべて正の整数ですね。