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今夜の番組ﾁｪｯｸ
　ｎ は２以上の自然数で、ａ＞０ のとき、不等式　（１＋ａ）ｎ＞１＋ｎａ　を証明しなさい。　　　　


　　　　　今度は数学的帰納法で不等式に挑戦です （＾＾）♪



まずは、【手順１】　ｎ＝２ のとき、問題の不等式は、

　　　　　　　　　　（左辺）＝（１＋ａ）２＝１＋２ａ＋ａ２
　　　　　　　　　　（右辺）＝ １＋２ａ

　　　　　　　　　　明らかに、ａ２（＞０） がある分、左辺の方が大きいですね。
　　　　　　　　　　したがって、問題の不等式が成り立ちます。

次に、　【手順２】　ｎ＝ｋ のときに正しいと仮定します。　つまり

　　　　　　　　　　（１＋ａ）ｋ＞１＋ｋａ　・・・①

　　　　　　　　　　は正しいものとします。

すると、【手順３】　ｎ＝ｋ＋１ のときは

　　　　　　　　　　　　　（左辺）＝（１＋ａ）ｋ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（１＋ａ）ｋ（１＋ａ）　　手順２を使えば
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＞（１＋ｋａ）（１＋ａ）　　展開して
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝１＋（ｋ＋１）ａ＋ｋａ２　　ｋ＞０ なので ｋａ２＞０ ですから
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＞１＋（ｋ＋１）ａ＝（右辺）
　　　　　　　　　　∴ （左辺）＞（右辺） となって問題の不等式が成り立ちます。

以上の結果から（数学的帰納法により）２以上のすべての自然数 ｎ について、
問題の不等式は正しいことが言えました。




　　　　　　　　　不等式の証明では、プラスになる数がキーを握っていますね。 （＾Ｏ＾）