〔　数　列　〕解答だよ～ん（＾０＾）

　ａ_１＝３，ａ_ｎ^２＝（ｎ＋１）ａ_ｎ＋１＋１（ｎ≧１）で定義される数列｛ａ_ｎ｝の一般項を求めなさい。

　　　　　なんだか複雑な漸化式ですねぇ。　これは、普通のパターンではないので・・・
　　　　　少し具体的に数値を代入して、様子見からスタートしましょうかぁ（＾＾）

　ｎ＝１のとき、　　ａ_１^２＝２ａ_２＋１　　すなわち、　ａ_２＝４
　ｎ＝２のとき、　　ａ_２^２＝３ａ_３＋１　　すなわち、　ａ_３＝５
　ｎ＝３のとき、　　ａ_３^２＝４ａ_４＋１　　すなわち、　ａ_４＝６

　　　　　う～む、どうやら　　ａ_ｎ＝ｎ＋２　・・・①

　　　　　になりそうな雰囲気やねぇ。　　これを、数学的帰納法で証明してやりましょう。（＾＾）

初めに、【手順１】　ｎ＝１のとき、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ_１＝１＋２＝３　　で合ってますね。

次に、　【手順２】　ｎ＝ｋのときに

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ_ｋ＝ｋ＋２

　　　　　　　　　　　　が言えるものとします。

すると、【手順３】　ｎ＝ｋ＋１のときは、元の漸化式にｎ＝ｋを当てはめると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ_ｋ^２＝（ｋ＋１）ａ_ｋ＋１＋１　ですから
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　よってこの時にも①が成り立ちますから、すべての自然数ｎについて

　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ_ｎ＝ｎ＋２　が言えることになります。　つまり、こいつが一般項ってことです。

　　　　　漸化式の形は難しそうやったけど、結果は案外簡単やったね。
　　　　　予想を立てて、そいつを証明して、一般項を求めました。
　　　　　数学的帰納法様々ってところでしょうか。（＾＾）