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座標平面上に３点 Ａ（２，２），Ｂ（-3，１），Ｐ（０，ｔ） （ただし ｔ＞０） 　が与えられている。　ｘ 軸上に中心をもち、ＡとＰを通る円をＣとする。 　また、ｘ 軸上に中心をもち、ＢとＰを通る円をＣ’とする。 　　（１）　点ＰにおけるＣの接線の傾きを ｔ を用いて表しなさい。 　　（２）　点ＰにおけるＣ’の接線の傾きを ｔ を用いて表しなさい。 　　（３）　点ＰにおけるＣの接線とＣ’の接線が直交するときの ｔ の値を求めなさい。

図はこんな感じですねん。（＾＾）

（１）

円Ｃの接線と、接点Ｐを通る半径は垂直になりますから、 　円の中心の座標を （ａ，０）とおけば、 　この半径の傾きは　　ですね。　　基本問題４参照（＾＾） 　接線の傾きはこいつと垂直なので　　となるわけですから、 　この ａ を ｔ で表せればいいですね。（＾＾） 　そこで・・・

　　中心（ａ，０）、半径ｒ の円の方程式は

　　　　　　　　　　（ｘ−ａ）^２＋ｙ^２＝ｒ^２

　　と表せましたね。　これが２点（２，２），（０，ｔ） を通りますから、

　　　　　　　　　　（２−ａ）^２＋２^２＝ｒ^２　→ → →　４−４ａ＋ａ^２＋４＝ｒ^２
　　　　　　　　　　（０−ａ）^２＋ｔ^２＝ｒ^２　 → → →　 ａ^２＋ｔ^２＝ｒ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−−−−−−−−−−−引き算（＾＾）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−４ａ＋８−ｔ^２＝０


したがって、接線の傾きは　

　全く同様に・・・

（２）

円Ｃ’の接線と、接点Ｐを通る半径は垂直になりますから、 　円の中心の座標を （ｂ，０）とおけば、 　この半径の傾きは　　ですね。 　接線の傾きはこいつと垂直なので　　となるわけですから、 　この ｂ を ｔ で表せればいいですね。（＾＾） 　そこで・・・

　　中心（ｂ，０）、半径Ｒ の円の方程式は

　　　　　　　　　　（ｘ−ｂ）^２＋ｙ^２＝Ｒ^２

　　と表せますから、　これが２点（−３，１），（０，ｔ） を通りますから、

　　　　　　　　　　（−３−ｂ）^２＋１^２＝Ｒ^２　→ → →　９＋６ｂ＋ｂ^２＋１＝Ｒ^２
　　　　　　　　　　　（０−ｂ）^２＋ｔ^２＝Ｒ^２　　→ → →　 ｂ^２＋ｔ^２＝Ｒ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−−−−−−−−−−−引き算（＾＾）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６ｂ＋10−ｔ^２＝０


したがって、接線の傾きは　

（３）　　　（１）（２）で求めた傾きを利用しますね。

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　分母を払えば

　　　　　　　　　　　　　（−ｔ^２＋８）（ｔ^２−10）＝−24ｔ^２
　　　　　　　　　　　　　　−ｔ^４＋18ｔ^２−80＝−24ｔ^２
　　　　　　　　　　　　　　　ｔ^４−42ｔ^２＋80＝０　　　因数分解して
　　　　　　　　　　　　　　　（ｔ^２−40）（ｔ^２−２）＝０
　　　　　　　　　　　　　　　∴　ｔ^２＝40，２

　　　　　　　　　　ｔ＞０　でしたから、　　となります。


　　　　　　　ここも、垂直条件は当たり前！として計算していってます。
　　　　　　　接線と半径が垂直になるのは O.K. ですね？
　　　　　　　２直線の垂直条件は、再度確認しておいてくださいね　　　m（＾。＾）m　♪