[PR]今日のﾆｭｰｽは
｢Infoseek ﾓﾊﾞｲﾙ｣

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実数全体の集合 Ｒ を全体集合とする。 　　このとき、部分集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２−ｘ−２＞０｝ の補集合を で表す。 　　また、実数 ｋ に対して、部分集合 Ｂ，Ｃ をそれぞれ 　　　　　　　　　　 　Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２−２ｋｘ−ｋ＋６＞０｝ 　　　　　　　　　　 　Ｃ＝｛ｘ｜ｘ２−５ｋｘ＋６ｋ２≧０｝ 　　とするとき、 　　　（１）　Ｂ＝Ｒ となる ｋ の範囲を求めなさい。 　　　（２）　 が Ｂ の部分集合となる ｋ の範囲を求めなさい。 　　　（３）　Ａ が Ｃ の部分集合となる ｋ の範囲を求めなさい。

（1）
　　　　 Ｂ＝Ｒ ってことは、Ｂ が実数全体、
　　　　つまり、２次不等式
　　　　　　　ｘ^２−２ｋｘ−ｋ＋６＞０
　　　　が常に成り立つってことなので、判別式＜０ がその条件やったよね。（→判別式）

　　　　　（判別式）＝（−２ｋ）^２−４・１・（−ｋ＋６）
　　　　　　　　　　＝４ｋ^２＋４ｋ−24＜０
　　　　　　　　　　　　ｋ^２＋ｋ−６＜０
　　　　　　　　　　　（ｋ＋３）（ｋ−２）＜０
　　　　　　　　　　　　∴ −３＜ｋ＜２


（2）
　　　　　　ｆ（ｘ）＝ｘ^２−２ｋｘ−ｋ＋６＝（ｘ−ｋ）^２−ｋ^２−ｋ＋６
　　　　　　ですから、２次関数 ｙ＝ｆ（ｘ） の頂点は （ｋ，−ｋ^２−ｋ＋６） ですね。

　　　　集合Ａ の不等式を解くと
　　　　　　　ｘ^２−ｘ−２＞０
　　　　　　　（ｘ＋１）（ｘ−２）＞０
　　　　　　　∴　Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜−１，２＜ｘ｝
　　　　ですね。　これの補集合やったら、
　　　　　　　　　　＝｛ｘ｜−１≦ｘ≦２｝
　　　　ってことになりますから、これがＢの部分集合(Ｂの一部分)になるんやったら
　　　　　

（ア）　（頂点のｘ座標）＞２ 　　　　　　・・・　ｋ＞２ 　　　　　ｆ（２）＞０ 　　　　　　・・・　10−５ｋ＞０ 　　　　　ｆ（-1）＞０ 　　　　　　・・・　ｋ＋７＞０ 　　　　この３条件がそろえば良いですが、 　　　　　ｋ＞２，ｋ＜２，ｋ＞-7　 　　　　　　・・・　これらは同時には 　　　　　　　　　成り立ちませんね。

（イ）　（頂点のｘ座標）＜−１ 　　　　　　・・・　ｋ＜−１ 　　　　　ｆ（２）＞０ 　　　　　　・・・　10−５ｋ＞０ 　　　　　ｆ（-1）＞０ 　　　　　　・・・　ｋ＋７＞０ 　　　　この３条件がそろえば良いから、 　　　　　ｋ＜−１，ｋ＜２，ｋ＞-7　の共通部分 　　　　　　　　-７＜ｋ＜-１

（ウ）　　これは（１）のケースですから 　　　　　　−３＜ｋ＜２

よって、−７＜ｋ＜２


（3）
　　　　Ｃの不等式は
　　　　ｘ^２−５ｋｘ＋６ｋ^２≧０
　　　（ｘ−２ｋ）（ｘ−３ｋ）≧０
　　　　　　∴ ｋ≧０ なら ｘ≦２ｋ，３ｋ≦ｘ
　　　 　　　　 ｋ＜０ なら ｘ≦３ｋ，２ｋ≦ｘ
　　　　
　　　　Ａ が Ｃ の部分集合となるためには、
　　　　図のように ｋ≧０，−１≦２ｋ，３ｋ≦２　あるいは逆で、ｋ＜０，−１≦３ｋ，２ｋ≦２
　　　　やったらいいので、結局 やから



　　　　　　　ここでは、２次不等式を正確に解けるのが前提になりますから（＾へ＾；
　　　　　　　しっかり復習しておきましょうね。（＾０＾）♪