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ｎ を正の整数とするとき、２ｎ と ｎ２ の大小を比べなさい。

　　　　　大小を比べる問題ですね。　指数関数の方が圧倒的に大きくなるスピードは大きいはず ・・・ （＾＾）♪
　　　　　まずは具体的な数値でメドを立てましょう。



大小比較表

ｎ	１	２	３	４	５	６	７	・・・
２ｎ	２	４	８	16	32	64	128	・・・
ｎ２	１	４	９	16	25	36	49	・・・

　　どうやら、ｎ≧５ のときには、２^ｎ＞ｎ^２ が言えるようですね。
　　そこで、ｎ が５以上のときを、数学的帰納法で証明してやりましょう。

初めに、【手順１】　ｎ＝５ のとき、

　　　　　　　　　　２^ｎ＝２^５＝32　　　　ｎ^２＝５^２＝25

　　　　　　　　　　∴ ２^ｎ＞ｎ^２　が言えますね。

次に、　【手順２】　ｎ＝ｋ　（ｋ≧５） のときに

　　　　　　　　　　 ２^ｋ＞ｋ^２

　　　　　　　　　　が言えるものとします。

すると、【手順３】　ｎ＝ｋ＋１ のときは

　　　　　　　　　　２^ｋ＋１＝２・２^ｋ＞２・ｋ^２　・・・�@

　　　　　　　　　ここで、　２ｋ^２ と （ｋ＋１）^２ の大小を比べてみます。

　　　　　　　　　　　　　　２ｋ^２−（ｋ＋１）^２＝２ｋ^２−（ｋ^２＋２ｋ＋１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ｋ^２−２ｋ−１＝（ｋ−１）^２−２
　　　　　　　　　ｋ≧５ ですから、明らかに （ｋ−１）^２−２＞０ ですね。

　　　　　　　　　　　　　　∴ ２ｋ^２＞（ｋ＋１）^２　（ｋ≧５）　・・・�A

　　　　　　　　　�@�Aから　２^ｋ＋１＞（ｋ＋１）^２ 　が言えます。

以上の結果から（数学的帰納法により） ５以上の正の整数（自然数） ｎ について、 ２^ｎ＞ｎ^２ が成り立ちますから、
最初の大小比較表と合わせて

　　ｎ＝２，４ 　　　のときは　２^ｎ＝ｎ^２
　　ｎ＝３　　　　 　のときは　２^ｎ＜ｎ^２
　　ｎ＝１，ｎ≧５　のときは　２^ｎ＞ｎ^２

となりますね。


　　　　　問題に 「証明せよ」 とは書いてありませんが、ｎ≧５ のときの証明は必要ですね。
　　　　　大小比較表はあくまで途中までしか出来ていませんから、その先は予想でしかないのです。

　　　　　数学的帰納法を用いて証明するのは、いつも１からとは限りませんので
　　　　　問題の内容によって、うまく使ってやって下さいね。（＾＾）