ｆ（ｘ）
は３次以下の整式とし、２つの条件
（ア）
ｘ
の最高次の項の係数は定数項と等しい
（イ）
３ｆ(ｘ)−ｘｆ'(ｘ)＝ｘ
２
−４ｘ＋３
を満たすとき、
ｆ（ｘ）
を求めなさい。
問題の条件を一つずつ確認しましょう。（＾＾）
とりあえず、
ｆ（ｘ）
が
３次式
の場合：
（ア）
ｘ
の３次の係数は定数項と等しい
３次関数を
ｆ（ｘ）＝ａｘ
３
＋ｂｘ
２
＋ｃｘ＋ａ
とおけますね。
（イ）
３
ｆ(ｘ)
−ｘ
ｆ'(ｘ)
＝ｘ
２
−４ｘ＋３
こういう式は
恒等式
と思ってね（＾＾）
３（
ａｘ
３
＋ｂｘ
２
＋ｃｘ＋ａ
）−ｘ（
３ａｘ
２
＋２ｂｘ＋ｃ
）＝ｘ
２
−４ｘ＋３
３ａｘ
３
＋３ｂｘ
２
＋３ｃｘ＋３ａ−３ａｘ
３
−２ｂｘ
２
−ｃｘ＝ｘ
２
−４ｘ＋３
ｂｘ
２
＋２ｃｘ＋３ａ＝ｘ
２
−４ｘ＋３
も〜お、このまんま係数比較して、
ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝-2
したがって、
ｆ（ｘ）＝ｘ
３
＋ｘ
２
−２ｘ＋１
お次は、
ｆ（ｘ）
が
２次式
の場合：
（ア）
ｘ
の２次の係数は定数項と等しい
２次関数を
ｆ（ｘ）＝ａｘ
２
＋ｂｘ＋ａ
とおけますね。
（イ）
３
ｆ(ｘ)
−ｘ
ｆ'(ｘ)
＝ｘ
２
−４ｘ＋３
こういう式は恒等式と思ってね（＾＾）
３（
ａｘ
２
＋ｂｘ＋ａ
）−ｘ（
２ａｘ＋ｂ
）＝ｘ
２
−４ｘ＋３
３ａｘ
２
＋３ｂｘ＋３ａ−２ａｘ
２
−ｂｘ＝ｘ
２
−４ｘ＋３
ａｘ
２
＋２ｂｘ＋３ａ＝ｘ
２
−４ｘ＋３
これまた、このまんま係数比較して、
ａ＝１，ｂ＝-2
したがって、
ｆ（ｘ）＝ｘ
２
−２ｘ＋１
ｆ（ｘ）
が
１次式
や
定数
の場合：
条件（イ）の左辺が、どう考えても２次式にはならないので、ボツ（＾＾）
・・・
恒等式
やからね。（＾０＾）♪
微分できて、条件式を計算できれば Ｏ．Ｋ． の問題でしたね。（＾＾）
