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３次の整式 ｆ（ｘ） と ２次の整式 ｇ（ｘ） が次の３条件 　　（Ａ）　ｆ（ｘ） を ｇ（ｘ） で割ると、商が ｘ−２ で余りが ｘ＋６ である。 　　（Ｂ）　ｆ（ｘ）−（ｘ−７）ｇ（ｘ） は ｘ＋１ で割り切れる。 　　（Ｃ）　不等式 ｇ（ｘ）≦２ｘ＋５ の解は −２≦ｘ≦１ である。 　を満たしているとき、ｆ（ｘ），ｇ（ｘ） をそれぞれ求めなさい。

整式の形態 　整式 ｆ（ｘ） を、ｘの式 Ｐ（ｘ） で割ったときの 　余りをＲ とし、そのときの商を ｇ（ｘ） とすれば、　 　　　　　　ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）・ｇ（ｘ）＋Ｒ 　　　　　 (元の式)＝(割った式)・(商)＋(余り) 　と表すことができます。

剰余定理 　整式 ｆ（ｘ） を、ｘの１次式 ｘ−α　　 　で割ったときの余りは、 　ｆ（α） 　で表されます。

　　　　　　３つのヒントを、一つずつ確実に式に直していきましょう。（＾０＾）

　（Ａ） ｆ（ｘ） を ｇ（ｘ） で割ると、商が ｘ−２ で余りが ｘ＋６ である。

　　　　　整式の形態から、 ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）・（ｘ−２）＋ｘ＋６　　　・・・（Ａ）
　　　　　とおけますね。


　（Ｂ） ｆ（ｘ）−（ｘ−７）ｇ（ｘ） は ｘ＋１ で割り切れる。

　　　　　【 割り切れる 】＝【 余りが０ 】　ってことですから、ｘ＝−１ を代入すれば、
　　　　　ｆ（-1）−（-1−７）ｇ（-1）＝ｆ（-1）＋８・ｇ（-1）＝０ 　　　・・・（Ｂ）


　（Ｃ） 不等式 ｇ（ｘ）≦２ｘ＋５ の解は −２≦ｘ≦１ である。

　　　　　 ２次不等式 ｇ（ｘ）−（２ｘ＋５）≦０ の解が −２≦ｘ≦１ なのですから
　　　　　　　　ｇ（ｘ）−（２ｘ＋５）＝ａ（ｘ−１）（ｘ＋２）　　　・・・（Ｃ）
　　　　　とおけますね。（ただし ａ＞０ とします）


　　　　　　さて、この３つの式 （Ａ），（Ｂ），（Ｃ） から、なんとか ｆ（ｘ），ｇ（ｘ） を求めていきましょう。（＾＾；

　　３つを見比べてみると、（Ｂ）だけ ｘ＝−１ が代入されていますから、ここはひとつ、
　　（Ａ），（Ｃ）にも ｘ＝−１ を代入して比べて見ましょう。（＾０＾）

　　　　　　　（Ａ）　ｆ（-1）＝−３・ｇ（-1）＋５
　　　　　　　（Ｂ）　ｆ（-1）＋８・ｇ（-1）＝０
　　　　　　　（Ｃ）　ｇ（-1）−３＝−２ａ

　　　これら３式からわかることは、
　　　ｆ（-1）＝８、ｇ（-1）＝−１，ａ＝２ ってことです。
　　　すると （Ｃ）から、

　　　　　　　　ｇ（ｘ）＝２（ｘ−１）（ｘ＋２）＋（２ｘ＋５）
　　　　　　　　　　＝２ｘ^２＋４ｘ＋１

　　　がでますね。　これを （Ａ） に当てはめれば、

　　　　　　　　ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）・（ｘ−２）＋ｘ＋６
　　　　　　　　　　＝（２ｘ^２＋４ｘ＋１）（ｘ−２）＋ｘ＋６
　　　　　　　　　　＝２ｘ^３−６ｘ＋４




　　　　　　（Ｃ） のヒントは、２次不等式に関するものですね。
　　　　 　（ｘ−１）（ｘ＋２）≦０ の解は −２≦ｘ≦１ ですから、
　　　　　　より一般的に、２次不等式を ａ（ｘ−１）（ｘ＋２）≦０ とおいたわけです。