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ａ，ｂ は実数で、方程式 ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ−123＝０ が 　ｘ＝４＋５i を解にもつとき、ａ，ｂ の値を求めなさい。

虚数のペア、共役複素数　(^0^)

　　共役複素数は、ペアで方程式の解になりますから、ｘ＝４＋５i が解ということは・・・

　 ｘ＝４＋５i を解にもつ２次方程式は、

　　　｛ｘ−（４＋５i ）｝｛ｘ−（４−５i ）｝＝０

ですから、展開すれば

　　　　ｘ^２−８ｘ＋41＝０

ですね。　つまり、元の３次式は

　　　　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ−123＝（ｘ−α）（ｘ^２−８ｘ＋41）

のように因数分解されるはずですから、定数項を見比べてみると

　　　　−123＝−41α　　∴ α＝３

すなわち

ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ−123＝（ｘ−３）（ｘ^２−８ｘ＋41） 　・・・ 展開して
　　　　　　　　　　　　 ＝ｘ^３−８ｘ^２＋41ｘ−３ｘ^２＋24ｘ−123
　　　　　　　　　　　　 ＝ｘ^３−11ｘ^２＋65ｘ−123


つまり、ａ＝−11，ｂ＝65　となりますね。



　　　　　　ちなみに、３次方程式が虚数解を１つ持てば、
　　　　　　”２つの虚数解と１つの実数解 ” を持つことになりますね（＾０＾）♪

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