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ｘ＝３＋２i のとき、ｘ３−５ｘ＋１ の値を求めなさい。

i 2＝−１ 　　　は大切な性質ですから、　 　　　覚えておきましょう。

　　（解法１）　問題の式に素直に代入してみますと・・・

　　　　　　　　　ｘ^３−５ｘ＋１
　　　　　　　＝（３＋２i ）^３−５（３＋２i ）＋１
　　　　　　　＝27＋54i ＋36i ^２＋８i ^３−15−10i ＋１
　　　　　　　＝13＋44i ＋36i ^２＋８i ^３ 　　　・・・　i ²＝−１ 　i ³＝−i　ですから
　　　　　　　＝13＋44i −36−８i
　　　　　　　＝−23＋36i


　　　　　　　　３乗の展開公式 は大丈夫かな？（＾＾；

(ｘ＋ｙ)３＝ｘ３＋３ｘ２ｙ＋３ｘｙ２＋ｙ３ 　　　 (ｘ−ｙ)３＝ｘ３−３ｘ２ｙ＋３ｘｙ２−ｙ３

　　　　　　　　それと、i ³＝i ²×i ＝−i もいけるかな？
　　　　　　　　ちなみに・・・

i	i 2	i 3	i 4	i 5	i 6	i 7	i 8
i	−１	− i	１	i	−１	− i	１

　　　　　　　　のように、４乗ごとに同じ値を繰り返すので、
　　　　　　　　覚えておくと便利かも・・・



　　（解法２）　ヒントから、ｘ の２次方程式を作ってみます。

　　　　　　　　　　ｘ＝３＋２i　ですから、　ｘ−３＝２i　ですね。 　i だけ残すのがポイント（＾＾）
　　　　　　　　ここで、両辺を２乗しますと、

　　　　　　　　　（ｘ−３）^２＝４i ^２ 　　　・・・　左辺は展開、右辺は i ²＝−１
　　　　　　　ｘ^２−６ｘ＋９＝−４
　　　　　　　∴ ｘ^２−６ｘ＋13＝０

　　　　　　　　ここで、この２次式で元の３次式を割ってみます。

　　　　　　　

　　　　　　　すると、もとの３次式は・・・

　　　　　　　ｘ^３−５ｘ＋１＝（ｘ^２−６ｘ＋13）（ｘ＋６）＋（18ｘ−77）
　　　　　　　　　　　　　 　＝ ０・（ｘ＋６）＋（18ｘ−77）
　　　　　　　　　　　　　 　＝ 18ｘ−77　　　・・・ここでｘ＝３＋２i を代入
　　　　　　　　　　　　　 　＝ 18（３＋２i ）−77
　　　　　　　　　　　　　 　＝ 54＋36i −77
　　　　　　　　　　　　　　 ＝−23＋36i


　　　　整式の割り算をやったあとで、

　　　　（元の式）＝(割った式)×(商)＋(余り)

　　　　となることを使って、元の式を変形してますよ〜。（＾＾）