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整式 ｆ（ｘ） を ｘ−１，ｘ＋２ で割ったときの余りがそれぞれ−３，９ のとき、 　　ｆ（ｘ） を（ｘ−１）（ｘ＋２） で割ったときの余りを求めなさい。

整式の形態 　整式 ｆ（ｘ） を、ｘの式 Ｐ（ｘ） で割ったときの 　余りをＲ とし、そのときの商を ｇ（ｘ） とすれば、　 　　　　　　ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）・ｇ（ｘ）＋Ｒ 　　　　 (元の式)＝(割った式)・(商)＋(余り) 　と表すことができます。

　　整式 ｆ（ｘ） を、問題の２次式 （ｘ−１）（ｘ＋２） で割ったときの余りは、
　　当然１次式以下のはずですから、 仮に ａｘ＋ｂ とおきます。　　　※ これが重要なポイントなんです（＾＾）
　　商を ｇ（ｘ） とすれば、 元の式は

　　　　　ｆ（ｘ）＝（ｘ−１）（ｘ＋２）・ｇ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ

　　と表されるわけです。 　　そこでヒントから、剰余定理を使って、

　　　　ｆ（１）＝−３　　　・・・ｆ（ｘ） をｘ−１で割った余りが−３やから
　　　　 ｆ（-2）＝９　　　　・・・ｆ（ｘ） をｘ＋２で割った余りが ９ やから

　　ですから、ｆ（ｘ） に １ および −２ を代入してやれば

　　　　　ｆ（１）＝（１−１）（１＋２）・ｇ（１）＋ａ・１＋ｂ
　　　　　　　　＝　０＋ａ＋ｂ
　　　　　　　　＝　ａ＋ｂ　＝−３　　　・・・�@

　　　　　ｆ（-2）＝（-2−１）（-2＋２）・ｇ（-2）＋ａ・（-2）＋ｂ
　　　　　　　　＝　０＋（-2ａ）＋ｂ
　　　　　　　　＝ -2ａ＋ｂ ＝ ９　　　・・・�A

　　だということがわかります。　�@，�A を連立方程式として解けば、ａ＝−４，ｂ＝１
　　となりますから、 余りは −４ｘ＋１ ですね。



　　　　　　　　　　ここでは、実際に割り算をして・・・とはいきませんね。
　　　　　　　　　　なにせ、ｆ（ｘ） が何次式かすらわからないのですから。（＾＾；
　　　　　　　　　　そこで、商をｇ（ｘ） とおいてますが、あまり重要視してませんね。
　　　　　　　　　　ｇ（ｘ） も何次式なのかわからないですね。
　　　　　　　　　　つまり、そこら辺は気にせず、話を余りに絞っているわけです。（＾０＾）。