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方程式 ｘ３−３ｘ２＋ｂｘ−２＝０ が ｘ＝１＋i を解に持つとき、 ｂ の値を求めなさい。

虚数のペア、共役複素数　(^0^)

　　共役複素数は、ペアで方程式の解になりますから、ｘ＝１＋i が解ということは・・・

ｘ＝１＋i を解にもつなら、ｘ＝１−i も解やから、２次方程式は

　　　｛ｘ−（１＋i ）｝｛ｘ−（１−i ）｝＝０

ですから、展開すれば　　・・・　i^２＝−１ に注意！

　　　　ｘ^２−２ｘ＋２＝０

ですね。　つまり、元の３次式は

　　　　ｘ^３−３ｘ^２＋ｂｘ−２＝（ｘ−α）（ｘ^２−２ｘ＋２）

のように因数分解されるはずですから、左辺と右辺の定数項を見比べてみると

　　　　−２＝−２α　　∴α＝１ よって、元の３次式は

　　　　ｘ^３−３ｘ^２＋ｂｘ−２＝（ｘ−１）（ｘ^２−２ｘ＋２）
　　　　　　　　　　　　　　 ＝ｘ^３−２ｘ^２＋２ｘ−ｘ^２＋２ｘ−２
　　　　　　　　　　　　　　 ＝ｘ^３−３ｘ^２＋４ｘ−２

∴ ｂ＝４


　　　　　　　　　　３次方程式には普通、３つの解があります。
　　　　　　　　　　共役な複素数がペアで解になりますから、残りの１つは実数解ですね。
　　　　　　　　　　そいつを α としたわけです。