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２次方程式 ｘ２＋ｘ＋１＝０ の解を、α，β とするとき 　α2000＋α1999β＋α1998β２＋・・・＋β2000 の値を求めなさい。

展開　の公式で　(^0^)　　　 　（ｘ−１）（ｘ２＋ｘ＋１）＝ｘ３−１　 というのがありましたよね。（＾＾）

α，β は ｘ^２＋ｘ＋１＝０ の解ですから、当然代入して 　α^２＋α＋１＝０ 　，β^２＋β＋１＝０
が言えますね。　すると、これらにそれぞれ α−１，β−１ をかけると ・・・

　　（α−１）（α^２＋α＋１）＝α^３−１＝０
　　（β−１）（β^２＋β＋１）＝β^３−１＝０

　すなわち α^３＝１、β^３＝１ が言えますね。　１ は何乗しても １ ですから、

α^３＝α^６＝α^９＝・・・＝α¹⁹⁹⁸＝１
β^３＝β^６＝β^９＝・・・＝β¹⁹⁹⁸＝１

が言えることになります。

また、元の式に α−β をかけると、

（α−β）（α²⁰⁰⁰＋α¹⁹⁹⁹β＋α¹⁹⁹⁸β^２＋・・・＋β²⁰⁰⁰）
＝α²⁰⁰¹−β²⁰⁰¹
＝（α^３）⁶⁶⁷−（β^３）⁶⁶⁷
＝１−１＝０

α≠β 　ですから、結局

α²⁰⁰⁰＋α¹⁹⁹⁹β＋α¹⁹⁹⁸β^２＋・・・＋β²⁰⁰⁰＝０

　が言えます。


　展開公式の応用として、

　　　　　　　　　　（α−β）（α^２＋αβ＋β^２）＝α^３−β^３
　　　　　　　　　　（α−β）（α^３＋α^２β＋αβ^２＋β^３）＝α^４−β^４
　　　　　　　　　　（α−β）（α^４＋α^３β＋α^２β^２＋αβ^３＋β^４）＝α^５−β^５
　　　　　　　　　　　　　・・・
　　　　　　　　　　（α−β）（α^ｎ＋α^ｎ−１β＋α^ｎ−２β^２＋・・・＋αβ^ｎ−１＋β^ｎ）＝α^ｎ＋１−β^ｎ＋１

　は是非覚えておきましょうね。　（＾０＾）♪　因数分解の公式と思ってくれてもいいよ〜ん。